Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為梯形，，點為的中點，且，點在上，且.

（1）求證：平面；

（2）若平面平面，且，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）如圖所示，取的中點，連結、，所以根據線面平行的判定定理即可證明；（2）取中點，中點，連結、，以N為原點，NA方向為x軸，NH方向為y軸，NP方向為z軸，建立空間坐標系，找到平面的一個法向量，求出直線向量所成夾角的余弦值，即可求直線與平面所成角的正弦值.

（1）如圖所示，取的中點，連結、，

因為點為的中點，且，所以且，

因為，所以，所以，

又因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，

所以，又平面，平面，所以∥平面；

（2）取中點，中點，連結、，

因為，所以，

又平面平面，所以平面，

又，所以，

以N為原點，NA方向為x軸，NH方向為y軸，NP方向為z軸，建立空間坐標系，

所以，，，，

在平面中，，,

設在平面的法向量為，所以，，

令，則法向量，又，

設直線與平面所成角為，

所以，

即直線與平面所成角的正弦值為.