Question

【題目】已知函數，，其中．

(I)當時，求曲線在點處的切線方程；

(Ⅱ)證明： 在區間上恰有2個零點．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 見解析．

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出在的導數即可得切線的斜率，也就得到在處切線方程．（Ⅱ）先研究函數的單調性，其導數為，當時，利用三角函數的符號可以判斷出，當時，導數有唯一的零點且為函數的極大值點．結合， 可以判斷在存在一個零點，在上存在一個零點，故在上存在兩個不同的零點．

解析：（Ⅰ）當時， ，所以，故，又，故曲線在的切線方程為．

（Ⅱ）．

當時，因為，故，所以在是單調增函數；

當時， ，令，此方程有唯一解．

當時， ， 在上是單調增函數；

當時， ， 在上是單調減函數；

因為的圖像是不間斷的，所以在上是單調增函數，在上是單調減函數． 又， ，而，故，根據零點存在定理和的單調性可知在存在一個零點，在上存在一個零點，故在上存在兩個不同的零點．