Question

【題目】為慶祝某校一百周年校慶，展示該校一百年來的辦學成果及優秀校友風采，學校準備校慶期間搭建一個扇形展覽區，如圖，是一個半徑為2百米，圓心角為的扇形展示區的平面示意圖.點是半徑上一點，點是圓弧上一點，且.為了實現“以展養展”，現決定：在線段、線段及圓弧三段所示位置設立廣告位，經測算廣告位出租收入是：線段處每百米為元，線段及圓弧處每百米均為元.設弧度，廣告位出租的總收入為元.

（1）求關于的函數解析式，并指出該函數的定義域；

（2）試問為何值時，廣告位出租的總收入最大，并求出其最大值.

Answer 1

【答案】（1），.（2）， .

【解析】

（1）利用正弦定理求出、，進而建立關于的函數解析式（2）利用導數研究函數的單調性，借助極值求出函數的最值．

（1）因為，

所以在中，，，，百米．

由正弦定理，得，，

得，．

又圓弧長為，

所以

．

（2）記，

則，

令，得．

當變化時，，的變化如下表：

		0
	遞增	極大值	遞減

所以在處取得極大值，這個極大值就是最大值，

即．

故當時，廣告位出租的總收入最大，最大值為元．