Question

【題目】已知正方體棱長為，如圖，為上的動點，平面.下面說法正確的是（ ）

A.直線與平面所成角的正弦值范圍為

B.點與點重合時，平面截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大

C.點為的中點時，若平面經過點，則平面截正方體所得截面圖形是等腰梯形

D.己知為中點，當的和最小時，為的中點

Answer 1

【答案】AC

【解析】

以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷A選項的正誤；證明出平面，分別取棱、、、、、的中點、、、、、，比較和六邊形的周長和面積的大小，可判斷B選項的正誤；利用空間向量法找出平面與棱、的交點、，判斷四邊形的形狀可判斷C選項的正誤；將矩形與矩形延展為一個平面，利用、、三點共線得知最短，利用平行線分線段成比例定理求得，可判斷D選項的正誤.

對于A選項，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，則點、、設點，

平面，則為平面的一個法向量，且，，

，

所以，直線與平面所成角的正弦值范圍為，A選項正確；

對于B選項，當與重合時，連接、、、，

在正方體中，平面，平面，，

四邊形是正方形，則，，平面，

平面，，同理可證，

，平面，

易知是邊長為的等邊三角形，其面積為，周長為.

設、、、、、分別為棱、、、、、的中點，

易知六邊形是邊長為的正六邊形，且平面平面，

正六邊形的周長為，面積為，

則的面積小于正六邊形的面積，它們的周長相等，B選項錯誤；

對于C選項，設平面交棱于點，點，，

平面，平面，，即，得，，

所以，點為棱的中點，同理可知，點為棱的中點，則，，

而，，且，

由空間中兩點間的距離公式可得，，，

所以，四邊形為等腰梯形，C選項正確；

對于D選項，將矩形與矩形延展為一個平面，如下圖所示：

若最短，則、、三點共線，

，，

，所以，點不是棱的中點，D選項錯誤.

故選：AC.