Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△PAD為等邊三角形，E，F分別為PC和BD的中點，且EF⊥CD．

（1）證明：平面PAD⊥平面ABCD；

（2）求點C到平面PDB的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據中位線定理可證PA⊥CD，結合AD⊥CD可得CD⊥平面PAD，于是平面PAD⊥平面ABCD；

（2）計算△PBD的面積，根據VP﹣BCD＝VC﹣PBD列方程計算點C到平面PDB的距離．

（1）因為E，F分別為PC和BD的中點，所以EF∥PA，

又因為EF⊥CD，所以PA⊥CD，

因為四邊形ABCD是正方形，所以AD⊥CD，

又PA∩AD＝A，PA平面PAD，AD平面PAD，所以CD⊥平面PAD，

又CD平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD．

（2）取AD的中點O，連接PO，

因為△PAD是等邊三角形，AD＝2，所以PO⊥AD，且PO，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

所以PO⊥平面ABCD，

又四邊形ABCD是邊長為2的正方形，所以S△BCD2，

所以VP﹣BCD，

連接OB，則OB，故PB2，

又BD2，PD＝2，

所以S△PBD，

設C到平面PBD的距離為h，則VC﹣PBD，

整理得，解得h，

即點C到平面PBD的距離為．