Question

對于定義域為D的函數y=f（x），如果存在區間[m，n]⊆D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內是單調函數；
②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數的“和諧區間”．
（1）求證：函數不存在“和諧區間”．
（2）已知：函數（a∈R，a≠0）有“和諧區間”[m，n]，當a變化時，求出n-m的最大值．
（3）易知，函數y=x是以任一區間[m，n]為它的“和諧區間”．試再舉一例有“和諧區間”的函數，并寫出它的一個“和諧區間”．（不需證明，但不能用本題已討論過的y=x及形如的函數為例）

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得函數的定義域（-∞，）∪（0．+∞），故可設[m，n]是已知函數定義域的子集．而函數在上單調遞增．假設[m，n]是已知函數的“和諧區間”，則，通過判斷方程的解的存在情況進行判斷是否存在和諧區間
（2）設[m，n]是已知函數定義域的子集．由題意可得[m，n]?（-∞，0）或[m，n]?（0，+∞）
若函數（a∈R，a≠0）有“和諧區間”[m，n]，由題意可得函數在[m，n]上單調遞增．，則，故m、n是方程，即a²x-（a²+a）x+1=0的同號的相異實數根，利用一元二次方程有兩個不同的實根的條件可求a＞3或 a＜-1而，由二次函數的性質可求
（3）可以舉常見的基本初等函數，如y=-x+2，，即可．
解答：解：（1）設[m，n]是已知函數定義域的子集．
∵x≠0，∴[m，n]?（-∞，0）或[m，n]?（0，+∞）
故函數在[m，n]上單調遞增．
若[m，n]是已知函數的“和諧區間”，則（4分）
故m、n是方程的同號的相異實數根．∵x²-3x+5=0無實數根，
∴函數不存在“和諧區間”．（6分）
（2）設[m，n]是已知函數定義域的子集．
∵x≠0，，∴[m，n]?（-∞，0）或[m，n]?（0，+∞）
故函數在[m，n]上單調遞增．
若[m，n]是已知函數的“和諧區間”，則（10分）
故m、n是方程，即a²x-（a²+a）x+1=0的同號的相異實數根．
∵，
∴m，n同號，只須△=a²（a+3）（a-1）＞0，即a＞1或a＜-3時，已知函數有“和諧區間”[m，n]
，∵，
∴當a=3時，n-m取最大值（14分）
（3）如：y=-x+2和諧區間為、[0，2，]，[-1，3，]，
當a+b=2的區間[a，b]；和諧區間為[0，，1]
和諧區間為[-1，0，]（18分）
點評：本題主要以新定義為載體，綜合考查了函數的單調性、函數的最值方程的根的情況、二次函數的最值的求解，考查了利用已學知識解決新問題的能力，考查了推理運算的能力，本題綜合性較強．