Question

【題目】已知數列的首項為1.記.

（1）若為常數列，求的值：

（2）若為公比為2的等比數列，求的解析式：

（3）是否存在等差數列，使得對一切都成立？若存在，求出數列的通項公式：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在等差數列滿足題意，

【解析】

(1)根據常數列代入其值得解；

(2)根據等比數列和用賦值法解決二項式展開式的相關問題求解；

(3)對于開放性的問題先假設存在等差數列，再推出是否有恒成立的結論存在，從而得結論.

解：（1）∵為常數列，∴.

∴

（2）∵為公比為2的等比數列，.

∴

∴

故.

（3）假設存在等差數列，使得對一切都成立，

設公差為，則

相加得

∴.

∴恒成立，

即恒成立，∴

故能為等差數列，使得對一切都成立，它的通項公式為