Question

【題目】如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE=2，M為線段BF上一點，且DM⊥平面ACE．
（1）求BM的長；
（2）求二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大�。�

Answer 1

【答案】
（1）解：設AC∩BD=O，取EF中點N，連接NO

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

∵四邊形BDEF是矩形，∴ON⊥BD，

∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，ON平面BDEF，

∴ON⊥平面ABCD，

以O為原點，以OC，OB，ON為坐標軸建立空間坐標系如圖所示：

∵底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，

∴OB=OD=1，OA=OC= ，

∵四邊形BDEF是矩形，DE=2，

∴A（﹣ ，0，0），B（0，1，0），C（ ，0，0），E（0，﹣1，2），D（0，﹣1，0），

設BM=h，則M（0，1，h），

∴ =（0，2，h）， =（ ，﹣1，2），

∵DM⊥平面ACE，∴ ，

∴﹣2+2h=0，解得h=1，

∴BM=1

（2）解： =（ ，﹣1，0）， =（0，2，1），

設平面ADM的法向量為 =（x，y，z），則 ，

∴ ，令x= 得 =（ ，3，﹣6），

又AC⊥平面BDM，∴ =（1，0，0）是平面BDM的一個法向量，

∴cos＜ ＞= = = ，

∴二面角A﹣DM﹣B的余弦值為

【解析】（1）建立坐標系，設BM=h，求出 和 的坐標，令 =0解出h；（2）求出平面ADM和平面BDM的法向量，計算法向量的夾角即可得出二面角的夾角．
【考點精析】掌握平面與平面垂直的性質是解答本題的根本，需要知道兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直．