Question

【題目】設函數

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）如果不等式對于一切的恒成立，求的取值范圍；

（3）證明：不等式對于一切的恒成立．

Answer 1

【答案】（1）(2)（3）見解析

【解析】分析：（1）先求一階導函數，，用點斜式寫出切線方程。

（2）分離變量，，構建函數，轉化為求函數的最大值

（3）構建函數，證明的最小值大于0.

解：（1）當時，，則，故，所以曲線在點處的切線方程為：；

（2）因為，所以恒成立，等價于恒成立.

設，得，

當時，，所以　在上單調遞減，

所以　時，.

因為 恒成立，所以的取值范圍是；

（3）當時，，等價于.

設，，得.

由（2）可知，時，恒成立.

所以時，，有，所以.

所以在上單調遞增，當時，.

因此當時，恒成立

分析：（1）利用導數求在某點切線方程利用，即可。

（2）已知不等式的恒成立，求解參數的取值范圍，分離變量，轉化為求函數的最值問題。

（3）證明不等式恒成立問題，構建函數，證明的最小值大于0.