Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，經過橢圓的左頂點作斜率為的直線交橢圓于點，交軸于點.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點為線段的中點， ，并且交橢圓于點.

①是否存在定點，對于任意的都有？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由；

②求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）存在點滿足題設；（ii）.

【解析】試題分析：（1）借助題設條件建立方程組求解；（2）依據題設條件運用直線與橢圓的位置關系進行求解.

試題解析：

（1）因為左頂點為，所以，又，所以.

又因為，

所以橢圓的方程為.

（2）（i）因為左頂點為，設直線的方程為，則，消去，得.

所以，解得，

當時， ，

所以，因為點為的中點，所以點的坐標為，

則，

直線的方程為，令，得點的坐標為，

假設存在定點，使得，

則，即恒成立，

所以恒成立，

所以，即，

因此定點的坐標為.

（ii）因為，所以的方程可設為，

由，得點的橫坐標為，

由，得

，

當且僅當，即時取等號，

所以當時， 的最小值為.