【題目】已知函數
.
（Ⅰ）若曲線
在
處的切線
與直線
垂直，求
的值；
（Ⅱ）當
時，求證：存在實數
使
.
【答案】（Ⅰ）
;（Ⅱ）見解析.
【解析】試題分析：（1）先根據題意可得
處的切線
的斜率為2，從而求得a（2）對于存在問題可根據題意賦值驗證，當
時，顯然有
，即存在實數
使
；當
時分析函數單調性，得函數最小值，若最小值小于1即得證
試題解析：
（Ⅰ）
，
因為曲線
在
處的切線與直線
垂直，
所以切線
的斜率為2，
所以
，
所以
.
（Ⅱ）法1：當
時，顯然有
，即存在實數
使
；
當
時，由
可得
，
所以在
時， 
，所以函數
在
上遞減；
時， 
，所以函數
在
上遞增
所以
是
的極小值.
由函數
可得
，
由
可得
，
所以
，
綜上，若
，存在實數
使
.
（Ⅱ）法2：當
時，顯然有
，即存在實數
使
；
當
時，由
可得
，
所以在
時， 
，所以函數
在
上遞減；
時， 
，所以函數
在
上遞增.
所以
是
的極小值.
設
，則
,令
，得
|
|
|
|
| + | 0 | - |
| ↗ | 極大值 | ↘ |
所以當
時
，
所以
，
綜上，若
，存在實數
使
.
智趣寒假作業云南科技出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若函數
在實數集
上的圖象是連續不斷的，且對任意實數
存在常數
使得
恒成立，則稱
是一個“關于
函數”.現有下列“關于
函數”的結論：
①常數函數是“關于
函數”；
②正比例函數必是一個“關于
函數”；
③“關于
函數”至少有一個零點；
④
是一個“關于
函數”.
其中正確結論的序號是_______.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設數列{an}的前n項和為Sn，點
(n∈N*)均在函數y＝3x－2的圖象上．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設bn＝
，Tn是數列{bn}的前n項和，求使得Tn<
對所有n∈N*都成立的最小正整數m.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某大學為調研學生在A，B兩家餐廳用餐的滿意度，從在A，B兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取了100人，每人分別對這兩家餐廳進行評分，滿分均為60分．
整理評分數據，將分數以
為組距分成
組： 
， 
， 
， 
， 
， 
，得到A餐廳分數的頻率分布直方圖，和B餐廳分數的頻數分布表：
B餐廳分數頻數分布表 | |
分數區間 | 頻數 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
定義學生對餐廳評價的“滿意度指數”如下：
分數 |
|
|
|
滿意度指數 |
|
|
|
（Ⅰ）在抽樣的100人中，求對A餐廳評價“滿意度指數”為
的人數；
（Ⅱ）從該校在A，B兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取1人進行調查，試估計其對A餐廳評價的“滿意度指數”比對B餐廳評價的“滿意度指數”高的概率；
（Ⅲ）如果從A，B兩家餐廳中選擇一家用餐，你會選擇哪一家？說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知集合A={1，2，3}，集合B={x|a+1＜x＜6a﹣1}，其中a∈R．
（1）寫出集合A的所有真子集；
（2）若A∩B={3}，求a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某鋼廠打算租用
， 
兩種型號的火車車皮運輸900噸鋼材， 
， 
兩種車皮的載貨量分別為36噸和60噸，租金分別為1.6萬元/個和2.4萬元/個，鋼廠要求租車皮總數不超過21個，且
型車皮不多于
型車皮7個，分別用
， 
表示租用
， 
兩種車皮的個數.
（Ⅰ）用
， 
列出滿足條件的數學關系式，并畫出相應的平面區域；
（Ⅱ）分別租用
， 
兩種車皮的個數是多少時，才能使得租金最少？并求出此最小租金.
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