Question

【題目】選修4-4 坐標系與參數方程

已知函數，曲線在點處的切線為，若時，有極值.

（1）求的值；

（2）求在上的最大值和最小值.

Answer 1

【答案】（1） （2）最小 ，最大13

【解析】試題分析：（1）求導， 則 ，

則根據已知切線方程可得 ①，，②，

又若時，有極值，則 （，③，

由①②③聯立方程組，；解出即得 ；
（2）利用導數求出區間 內的極值與端點處函數值，然后進行大小比較，其中最大者為最大值，最小者為最小值；

試題解析：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，

則f（﹣1）=a﹣b+c﹣1，f′（﹣1）=﹣2a+b+3，

故切線方程是：y=（3﹣2a+b）x+（﹣a+c+2），

而切線方程是：y=﹣5x+5，

故3﹣2a+b=﹣5，①，

a﹣c﹣2=﹣5，②，

若時，y=f（x）有極值，

則f′（）=++b=0，③，

由①②③聯立方程組，解得：；

（2）由（1）f（x）=x3+2x2﹣4x+5，

f′（x）=3x2+4x﹣4=（3x﹣2）（x+2），

令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣2，

令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜，

故f（x）在[﹣3，﹣2）遞增，在（﹣2，）遞減，在（，2]遞減，

由f（﹣3）=8，f（﹣2）=13，f（）=，f（2）=13，

故函數的最小值是f（）=，

最大值是f（2）=f（﹣2）=13．