Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調增區間；

（2）若函數有兩個極值點，且，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析 （Ⅱ）見解析

【解析】分析：（1）求出函數的定義域為及函數的導數，令，分和分類討論，即可得到函數的單調區間；

（2）求出函數的兩個極值點，轉化為，即證明，轉化為證明成立，設函數，利用函數的單調性證明即可.

詳解：（Ⅰ）由，得：

設函數

當時，即時，，，

所以函數在上單調遞增.

當時，即時，

令得，，

當時，即時，在 上，，;

在上，，.

所以函數在，上單調遞增，在上單調遞減.

當時，即時，在上，，;

在上，，.

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.

綜上，當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在，上單調遞增，

在上單調遞減；

當時，函數在上單調遞減，

在上單調遞增.

（Ⅱ）證明：∵函數有兩個極值點，且，

∴有兩個不同的正根，

∴ ∴.

欲證明，即證明，

∵，

∴證明成立，等價于證明成立.

∵，∴.

設函數，

求導可得.

易知在上恒成立，

即在上單調遞增，

∴，即在上恒成立，

∴函數有兩個極值點，且時，.