Question

四個半徑均為1的球兩兩相切，都在一個大球里，且都與大球相切，試求這個大球的體積．

Answer 1

答案：
解析：

解：四個小球的球心構成棱長為2的正四面體， 　　將其補成正方體， 　　∴正方體的對角線為其外接球的直徑2r． 　　∵正四面體棱長為2，∴正方體棱長為． 　　∴(2r)2＝()2＋()2＋()2r＝． 　　∴與四個小球都相切的大球半徑R＝r＋1＝1＋． 　　∴這個大球的體積V＝π(1＋)3≈46．12(立方單位)． 　　解析：由四個半徑都是1的球兩兩外切，其球心構成邊長為2的正四面體． 　　這四個球又都與大球相切，所以這個大球與正四面體的外接球是同心球，大球半徑R等于正四面體外接球的半徑r加上小球半徑1，R＝r＋1．這樣問題轉化為已知棱長為2的正四面體，求其外接球半徑r．