Question

【題目】已知圓： （其中為圓心）上的每一點橫坐標不變，縱坐標變為原來的一半，得到曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若點為曲線上一點，過點作曲線的切線交圓于不同的兩點（其中在的右側），已知點.求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）曲線上任意一點，則為上的點，從而可得曲線的方程為，化簡可得標準方程；（2），設，由，根據判別式為零可得，根據韋達定理、弦長公式以及三角形面積公式可得，同理可得，則，利用基本不等式可得四邊形面積的最大值.

試題解析：（1）設曲線上任意一點，則為上的點，

， 曲線。

（2）易知直線的斜率存在，設，

，

，即，

因為,設點到直線的距離為，

則， ，

，

由，

，

，

，

而， ，易知， ，

， ，

。