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【題目】已知正三角形 的邊長為3， 分別是邊上的點，滿足 (如圖1)．將折起到的位置，使平面平面，連接(如圖2)．

(1)求證：平面 ；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）在圖中，取的中點，連接，證明是等邊三角形，由此證得，即在圖中有，根據面面垂直的性質定理可證得平面.（2）以為原點，以向量的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，利用平面的法向量和的法向量，計算二面角的余弦值.

解：（1）在圖1中，取BE的中點D，連結DF．

∵，

∴.

而，∴是正三角形．

又，∴

即在圖2中，，

∵平面平面，平面平面，

平面.

（2）由（1）知，即平面，．

以E為原點，以向量的方向為軸的正方向建立如圖所示的坐標系，

則.

.

設分別是平面和平面的法向量，

由，得，

取，得，

由，得，

取，得，

所以.

因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】在四棱錐中，底面為菱形， ，側面為等腰直角三角形，，點為棱的中點．

（1）求證：面面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．

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（Ⅰ）求證：平面DAF⊥平面CBF；

（Ⅱ）當AD＝1時，求直線FB與平面DFC所成角的正弦值．

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【題目】（1）某校夏令營有3名男同學A、B、C和3名女同學X、Y、Z，其年級情況如下表：

一年級

二年級

三年級

男同學

A

B

C

女同學

X

Y

Z

現從這6名同學中隨機選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同)．

①用表中字母列舉出所有可能的結果；

②設M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學”，求事件M發生的概率．

（2）節日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈．這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，且都在通電后的4秒內任一時刻等可能發生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮．那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是多少？

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【題目】給出以下三個命題：

①若，則；

②在中，若，則；

③在一元二次方程中，若，則方程有實數根．

其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題均為真命題的是________．

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【題目】選修4-4坐標系與參數方程選講

在直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線，過點的直線的參數方程為（為參數），直線與曲線分別交于，兩點．

（1）寫出曲線的平面直角坐標方程和直線的普通方程：

（2）若成等比數列，求實數的值．

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【題目】某連鎖分店銷售某種商品，每件商品的成本為4元，并且每件商品需向總店交元的管理費，預計當每件商品的售價為元時，一年的銷售量為萬件.

（1）求該連鎖分店一年的利潤（萬元）與每件商品的售價的函數關系式；

（2）當每件商品的售價為多少元時，該連鎖分店一年的利潤最大，并求出的最大值.

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【題目】如圖1，在邊長為2的菱形中，，將沿對角線折起到的位置，使平面平面，是的中點，平面，且，如圖2.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成角的余弦值；

（3）在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.

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【題目】某城市交通部門為了對該城市共享單車加強監管，隨機選取了100人就該城市共享單車的推行情況進行問卷調查，并將問卷中的這100人根據其滿意度評分值（百分制）按照分成5組，制成如圖所示頻率分直方圖.

（1）求圖中x的值；

（2）求這組數據的平均數和中位數；

（3）已知滿意度評分值在內的男生數與女生數3:2，若在滿意度評分值為的人中隨機抽取2人進行座談，求2人均為男生的概率.

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