Question

 如圖，沿等腰直角三角形的中位線，將平面折起，使得平面平面得到四棱錐．

   （1）求證：平面平面；

   （2）過的中點的平面與平面平行，試求平面與四棱錐各個面的交線所圍成多邊形的面積與三角形的面積之比。

   （3）求二面角的余弦值。

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【解析】（1），平面平面，

根據兩個平面垂直的性質定理得平面，

所以，又，根據線面垂直的判定定理平面，

平面，所以平面平面。

   （2）由于平面平面，故平面與平面的交線，

是的中點，故是的中點；同理平面與平面的交線，

為的中點；平面的交線，為的中點，

連接即為平面與平面的交線，

故平面與四棱錐各個面的交線所圍成多邊形是圖中的四邊形，

由于，故，根據（1），

由，故，即四邊形`是直角梯形。

設，則，

故四邊形的面積是，

三角形的面積是，

故平面與四棱錐各個面

的交線所圍成多邊形的面積與

三角形的面積之比為。

 

   （3）方法1．平面,，

過點做的垂線交的延長線于點，

連接，則平面，

從而，

所以即為二面角的平面角。

設，則，則，

故二面角的余弦值等于。

方法2．建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求解。

設，則，，，，

設為平面的法向量，

則且，

即且，

取，則，

即平面的一個法向量為，（10分）

又為平面的一個法向量，

二面角是銳二面角，故其余弦值為。