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如圖，已知圓E ，點，P是圓E上任意一點．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（1）求動點Q的軌跡的方程；
（2）點，，點G是軌跡上的一個動點，直線AG與直線相交于點D，試判斷以線段BD為直徑的圓與直線GF的位置關系，并證明你的結論．

（1）點Q的軌跡的方程為為．（2）以線段BD為直徑的圓與直線GF相切．

解析試題分析：（1）連結QF，由于線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，所以|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，根據橢圓的定義知，動點Q的軌跡是以E，F為焦點，長軸長為4的橢圓．由此便可得其方程；（2）直線與圓的位置關系一般通過比較圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關系來確定． 由題意，設直線AG的方程為，則點D坐標為，由此可得圓心和半徑.下面用k表示點G的坐標，求出直線GF方程為，進而求到圓心到直線GF的距離便可知道以BD為直徑的圓與直線GF的位置關系．
（1）連結QF，根據題意，|QP|＝|QF|，
則|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，
故Q的軌跡是以E，F為焦點，長軸長為4的橢圓．             .2分
設其方程為，可知，，則，         ..3分
所以點Q的軌跡的方程為為． 4分
（2）以線段BD為直徑的圓與直線GF相切． 5分

由題意，設直線AG的方程為，則點D坐標為，BD的中點H的坐標為．
聯立方程組消去y得，
設，則，
所以，， 7分
當時，點G的坐標為，點D的坐標為.
直線GF⊥x軸，此時以BD為直徑的圓與直線GF相切． 9分
當時，則直線GF的斜率為，則直線GF方程為，
點H到直線GF的距離，又，
所以圓心H到直線GF的距離，此時，以BD為直徑的圓與直線GF相切．
綜上所述，以線段BD為直徑的圓與直線GF相切． 13分
考點：1、橢圓的方程；2、直線與橢圓的關系；3、最值問題.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，原點為,拋物線的方程為,線段是拋物線的一條動弦．
(1)求拋物線的準線方程和焦點坐標;
(2)若,求證：直線恒過定點；
(3)當時，設圓,若存在且僅存在兩條動弦,滿足直線與圓相切，求半徑的取值范圍？

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,-1)，B點在直線y = -3上，M點滿足， ，M點的軌跡為曲線C。
（1）求C的方程；
（2）P為C上的動點，l為C在P點處得切線，求O點到l距離的最小值。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設橢圓C1：=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為為，恰是拋物線C2：的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且｜MF2｜=．
（1）求C1的方程；
（2）平面上的點N滿足，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點，若，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

長方形中，，．以的中點為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系．

(1) 求以、為焦點，且過、兩點的橢圓的標準方程；
(2) 過點的直線交(1)中橢圓于兩點，是否存在直線，使得以線段為直徑的圓恰好過坐標原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，設拋物線：的焦點為，準線為，過準線上一點且斜率為的直線交拋物線于，兩點，線段的中點為，直線交拋物線于，兩點．
（1）求拋物線的方程及的取值范圍；
（2）是否存在值，使點是線段的中點？若存在，求出值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

直線與拋物線交于兩點A、B，如果弦的長度.
⑴求的值；
⑵求證：（O為原點）。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知，，，分別是橢圓的四個頂點，△是一個邊長為2的等邊三角形，其外接圓為圓．
（1）求橢圓及圓的方程；
（2）若點是圓劣弧上一動點（點異于端點，），直線分別交線段，橢圓于點，，直線與交于點．
（�。┣�的最大值；
（ⅱ）試問：..，兩點的橫坐標之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設橢圓C1：的右焦點為F，P為橢圓上的一個動點．
（1）求線段PF的中點M的軌跡C2的方程；
（2）過點F的直線l與橢圓C1相交于點A、D，與曲線C2順次相交于點B、C，當時，求直線l的方程．

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