Question

【題目】平面直角坐標系中，橢圓C：的離心率是，拋物線E：的焦點F是C的一個頂點．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線與C交與不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M．

（i）求證：點M在定直線上;

（ii）直線與y軸交于點G，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（ⅰ）見解析；（ⅱ）的最大值為，此時點的坐標為

【解析】

試題（Ⅰ）根據橢圓的離心率和焦點求方程；

（Ⅱ）（ⅰ）由點P的坐標和斜率設出直線l的方程和拋物線聯立，進而判斷點M在定直線上；

（ⅱ）分別列出，面積的表達式，根據二次函數求最值和此時點P的坐標．

試題解析：（Ⅰ）由題意知：，解得．

因為拋物線的焦點為，所以，

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）（1）設，由可得，

所以直線的斜率為，其直線方程為，即．

設，聯立方程組

消去并整理可得，

故由其判別式可得且，

故,

代入可得，

因為，所以直線的方程為．

聯立可得點的縱坐標為，即點在定直線上．

（2）由（1）知直線的方程為，

令得，所以，

又，

所以，，

所以，令，則，

因此當，即時，最大，其最大值為，此時滿足，

所以點的坐標為，因此的最大值為，此時點的坐標為．