Question

【題目】已知函數的定義域為，且存在實常數，使得對于定義域內任意，都有成立，則稱此函數具有“性質”

（1）判斷函數是否具有“性質”，若具有“性質”，則求出的值；若不具有“性質”，請說明理由；

（2）已知函數具有“性質”且函數在上的最小值為；當時，，求函數在區間上的值域；

（3）已知函數既具有“性質”，又具有“性質”，且當時，，若函數，在恰好存在個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）具有，；（2）；（3）

【解析】

（1）假設函數具備性質，代入即可求出的值；

（2）根據題意可知，再根據函數的最小值即可求出值域；

（3）由題得且，作出圖象，即可求出的取值范圍．

解：（1）假設具有“性質”，

則恒成立，

等式兩邊平方整理得，，因為等式恒成立，

所以，解得；

（2）函數具有“性質”則

又當時，，在單調遞減

當時，得：，

又得

當時，，在單調遞增

函數的最小值，得：

當時，，單調遞減

此時的值域為：

（3）既具有“性質”，即，則函數為偶函數，

又既具有“性質”，即，

且當時，

作出函數的圖象如圖所示：

函數，在恰好存在個零點

與在恰好有個交點

且

即的取值范圍為：.