Question

【題目】已知函數f（x）=x2+alnx﹣x（a≠0），g（x）=x2 ． （Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若對于任意的a∈（1，+∞），總存在x1 ， x2∈[1，a]，使得f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2）+m成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），
令2x2﹣x+a=0，△=1﹣8a
①當△=1﹣8a≤0，即 時，2x2﹣x+a≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，
故函數f（x）的單增區間為（0，+∞），無單減區間．
②當△＞0，即 時，由2x2﹣x+a=0解得 或
i）當 時，0＜x1＜x2 ，
所以當 或 時f′（x）＞0
當 時f′（x）＜0
③當a≤0時，
所以當 時f′（x）＞0，當 時f′（x）＜0；
綜上所述：
當 時，函數f（x）的單增區間為（0，+∞），無單減區間．
當 時，函數f（x）的單增區間為 和 ，
單減區間為 ．
當a≤0時，函數f（x）的單增區間為 ，單減區間為 ．
（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x﹣x2=alnx﹣x，x∈[1，a]．
原問題等價于：對任意的a∈（1，+∞），總存在x1 ， x2∈[1，a]，使得F（x1）﹣F（x2）＞m成立，
即F（x）max﹣F（x）min＞m．
∵ ，∵a∈（1，+∞），x∈[1，a]，
∴F′（x）＞0，∴F（x）在x∈[1，a]上單調遞增，
∴F（x）≤F（x）max﹣F（x）min=F（a）﹣F（1）=alna﹣a+1，
即alna﹣a+1＞m對任意的a∈（1，+∞）恒成立，
令h（a）=alna﹣a+1，a∈（1，+∞），只需h（a）min＞m，
h′（a）=lna，∵a∈（1，+∞），∴h′（a）＞0，∴h（a）在a∈（1，+∞）上單調遞增，
∴h（a）＞h（1）=0，
所以m≤0．
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，得到函數的單調區間即可；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x﹣x2=alnx﹣x，x∈[1，a]．原問題等價于：對任意的a∈（1，+∞），總存在x1 ， x2∈[1，a]，使得F（x1）﹣F（x2）＞m成立，即F（x）max﹣F（x）min＞m，根據函數的單調性求出m的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．