Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為，，上頂點為M，過點M且斜率為的直線與交于另一點N，過原點的直線l與交于P，Q兩點

（1）求周長的最小值：

（2）是否存在這樣的直線，使得與直線平行的弦的中點都在該直線上?若存在，求出該直線的方程：若不存在，請說明理由.

（3）直線l與線段相交，且四邊形的面積，求直線l的斜率k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）10；（2）存在滿足條件的直線，其方程為；（3）.

【解析】

（1）根據橢圓的對稱性和橢圓的定義，可知當弦的長度最小值時，的周長取得最小值；

（2）設與直線平行的弦所在的直線方程為，將其代入曲線的方程，根據韋達定理和中點坐標公式可得中點坐標，消去參數可得結果；

（3）設直線l的方程為，代入曲線，解得兩個交點坐標，聯立直線與曲線的方程，解得的坐標，求出點到直線的距離，然后求出四邊形的面積，根據解不等式可得結果.

（1）連接，又直線l過原點，由橢圓的對稱性得，

則的周長，

要使得的周長最小，即過原點的弦最短，

由橢圓的性質可知，當弦與的短軸重合時最短，即弦的最小值為4，

則周長的最小值為10.

（2）依題意，設與直線平行的弦所在的直線方程為，與的交點坐標為，，

平行弦中點的坐標為，

聯立，化簡整理得，

當

即時，平行弦存在，

則，，則，

故存在滿足條件的直線，其方程為.

（3）設直線l的方程為，點，.（不妨設），

由消去并化簡得，即，，

依題意，直線的方程為，

由，得，解得或，

所以，，所以，，

則.

又l與線段有交點且為四邊形，所以，即，

點P，Q到直線的距離分別為，，

則

，

又，即.

化簡整理得，，解得，

又，所以.

則所求的直線l的斜率k的取值范圍為.