Question

【題目】已知函數，函數，函數的導函數為.

（1）求函數的極值.

（2）若.

（i）求函數的單調區間；

（ii）求證： 時，不等式恒成立.

Answer 1

【答案】（1）的極小值為；函數的極大值為；（2）（i）函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是；（ii）見解析.

【解析】試題分析： 求的導函數，令，得到，或

時的增或減區間，從而求得的極值；

時，求的導函數，當時， 單調增， 時， 單調減，從而求出函數的單調區間，

先求出的導數，構造新函數，通過討論新函數的單調性，從而證出結論。

解析：（1）∵，∴，

∴，或，

∴上， ； 上； 上.

∴的極小值為；函數的極大值為.

（2）∵，∴， .

（i）記， ，

在上， ， 是減函數；在上， ， 是増函數，

∴.

則在上， ；在上， ，

故函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是.

（ii）時， ，

由（i）知， .

記，則，

在區間上， ， 是增函數；在區間上， ， 是減函數，

∴，∴，∴，

∴，即成立.