Question

【題目】如圖，△內接于圓，是圓的直徑，四邊形為平行四邊形，平面，.

（1）求證：⊥平面；

（2）設，表示三棱錐的體積，求函數的解析式及最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）解析式見解析，最大值為3√3.

【解析】分析：（1）要證（1）要證平面，需證平面，需證,用綜合法書寫即可。

（2）由（1）可知平面，所以體積為,，利用均值不等式求解最大值。

詳解：(1)證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形,∴CD∥BE,BC∥DE.

∵DC⊥平面ABC，BC平面ABC，∴DC⊥BC.

∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC，且DC∩AC=C.

∴BC⊥平面ADC.

∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC；

(2)∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC.

在Rt△ABE中,AB=2,EB=3√.

在Rt△ABC中,∵AC=x,BC=4x2√(0<x<2).

∴S△ABC=12ACBC=12x4x2√，

∴V(x)=VEABC=3√6x4x2√,(0<x<2).

∵x2(4x2)(x2+4x22)2=4,當且僅當x2=4x2,即x=2√時，取等號，

∴x=2√時,體積有最大值為3√3.