Question

【題目】如圖，在三棱錐中，是正三角形，為其中心.面面，，，是的中點，.

（1）證明：面；

（2）求與面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：

（1）連結，由重心的性質可得在中有，則，結合線面平行的判定定理可得平面.

（2）解法一：作 交的延長線于，作 交的延長線于，由題意可得為與面所成角，.

解法二：以中點為原點，建立空間直角坐標系.可得，面的法向量為，則所求角的正弦值.

試題解析：

（1）連結，因為是正三角形的中心，所以在上且，又，所以在中有，

所以，又平面， 平面，

所以平面.

（2）解法一：作 交的延長線于，作 交的延長線于，

由面面知面，所以，又 ，所以

所以面,所以面面，作，則面

連結，則為與面所成角，

∴，即所求角的正弦值為.

解法二：以中點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

∵，

∴，， ， ，

∴，，，.

設面的法向量為，則

取，

∴，即所求角的正弦值為.