Question

【題目】對于定義在區間D上的函數:若存在閉區間和常數e，使得對任意，都有，且對任意，當時，恒成立，則稱函數為區間D上的“平底型”函數.

（1）判斷函數和是否為R上的“平底型”函數？并說明理由；

（2）若函數是區間上的“平底型”函數，求m和n的值.

Answer 1

【答案】（1）是平底型函數，不是平底型函數，理由見解析（2）

【解析】

（1）先分段討論去絕對值符號，再求函數的值域，再結合“平底型”函數的性質判斷即可得解；

（2）由函數為“平底型”函數等價于，則可解出的值，然后再將值代入運算即可得解.

解：（1）對于函數，

當時， ，

當時，，

故為“平底型”函數，

對于函數，

當時，，

當時，，

即不存在閉區間，使當時，恒成立，

故不為“平底型”函數；

（2）由“平底型”函數定義可知，存在閉區間和常數e，使得對任意，都有，

即，

所以恒成立，

即恒成立，

即，解得或 ，

①當時，，

當時，，當時，，

即函數為“平底型”函數，

②當時，，

當時，，當時，，

即函數不為“平底型”函數，

綜上可得：函數是區間上的“平底型”函數，則.