Question

【題目】設命題p：對任意的 ，sinx≤ax+b≤tanx恒成立，其中a，b∈R．
（1）若a=1，b=0，求證：命題p為真命題．
（2）若命題p為真命題，求a，b的所有值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：若a=1，b=0，則命題p：對任意的 ，sinx≤x≤tanx恒成立，

如圖由三角函數線的定義可知，

sinx=MP，cosx=OM，x= ，

tanx=AT．

∵ 時

S△AOP= |OA||MP|= sinx，

S扇形AOP= |OA|= x，

S△AOT= |OA||AT|= tanx，

且S△AOP＜S扇形AOP＜SAOT．

∴ sinx＜ x＜ tanx

即sinx＜x＜tanx

（2）證明：若命題p為真命題，則當x=0時，sin0≤b≤tan0，所以b=0，

此時sinx≤ax≤tanx恒成立，

若a＜1，令f（x）=ax﹣sinx， ，

則f′（x）=a﹣cosx=0在 時有唯一解，記為x0，

當x∈[0，x0）時，f′（x）＜0，

此時f（x）≤f（0）=0恒成立，即ax≤sinx，矛盾，舍去；

若a＞1，令h（x）=ax﹣tanx， ，

則h′（x）=a﹣ =0在 時有唯一解，記為x1，

當x∈[0，x1）時，h′（x）＞0，

此時h（x）≥h（0）=0恒成立，即ax≥tanx，矛盾，舍去；

故a=1，b=0．

【解析】（1）在直角坐標系中，以坐標原點為圓心畫一個單位圓，與x軸正半軸交于點A，在第一象限內的圓周上任取一點P，過點P作x軸的垂線，垂足為M，過點A作x軸的垂線，交射線OP于點T，根據三角函數線可知sinx=MP，tanx=AT，那么SAOP=sinx，S扇形AOP=x，SAOT=tanx，通過比較SAOP、S扇形AOP、SAOT即可；（2）當x=0時，b=0,；根據a分類討論：當a1時構造函數f（x）=ax-sinx，當a1時構造函數f（x）=ax-tanx，利用導數分別討論兩個函數的單調性.
【考點精析】本題主要考查了命題的真假判斷與應用和利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．