Question

【題目】如圖，橢圓 的離心率為 ，頂點為A1、A2、B1、B2 ， 且 ．

（1）求橢圓C的方程；
（2）P是橢圓C上除頂點外的任意點，直線B2P交x軸于點Q，直線A1B2交A2P于點E．設A2P的斜率為k，EQ的斜率為m，試問2m﹣k是否為定值？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由 ，則 ，

由題意及圖可得A1（﹣a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），

∴

又 ，則a2﹣b2=3，∴

∴

∴橢圓C的方程為： ；

（2）

解：證明：由題意可知A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（0，﹣1），B2（0，1），

由A2P的斜率為k，則直線A2P的方程為y=k（x﹣2），

由 ，得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0，

其中 ，則 ， ，

則直線B2P的方程為 = （ ），

令y=0，則 ，即

直線A1B2的方程為x﹣2y+2=0，

由 解得 ，則 ，

則EQ的斜率 ，

∴ （定值），

2m﹣k為定值 ．

【解析】（1）由橢圓的離心率公式，根據向量數量積的坐標運算，即可求得c的值，求得a的值，即可求得橢圓的標準方程；（2）直線A2P的方程為y=k（x﹣2），代入橢圓方程，求得P點坐標，直線B2P的方程為 = （ ），求得Q點坐標，聯立求得E點坐標，求得m，則 （定值）．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．