Question

如圖所示，一個半圓和長方形組成的鐵皮，長方形的邊為半圓的直徑，為半圓的圓心，，，現要將此鐵皮剪出一個等腰三角形，其底邊.

（1）設，求三角形鐵皮的面積；
（2）求剪下的鐵皮三角形的面積的最大值.

Answer 1

（1）三角形鐵皮的面積為；（2）剪下的鐵皮三角形的面積的最大值為.

試題分析：（1）利用銳角三角函數求出和的長度，然后以為底邊、以為高，利用三角形面積公式求出三角形的面積；（2）設，以銳角為自變量將和的長度表示出來，并利用面積公式求出三角形的面積的表達式，利用與之間的關系，令將三角形的面積的表達式表示為以為自變量的二次函數，利用二次函數的單調性求出三角形的面積的最大值，但是要注意自變量的取值范圍作為新函數的定義域.
試題解析：（1）由題意知，
，
，
，即三角形鐵皮的面積為；
（2）設，則，，
，
，
令，由于，所以，
則有，所以，
且，所以，
故，
而函數在區間上單調遞增，
故當時，取最大值，即，
即剪下的鐵皮三角形的面積的最大值為.