Question

【題目】已知橢圓的離心率，為橢圓的右焦點，，為橢圓的上、下頂點，且的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）動直線與橢圓交于，兩點，證明：在第一象限內存在定點，使得當直線與直線的斜率均存在時，其斜率之和是與無關的常數，并求出所有滿足條件的定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）證明見解析，（1，）

【解析】

（1）設橢圓的半焦距為，由，，的關系和三角形的面積公式，結合離心率公式，解方程可得，，進而得到橢圓方程；

（2）設，，，，，聯立直線和橢圓方程，運用韋達定理和判別式大于0，以及斜率公式，化簡計算，考慮它的和為常數，可令的系數為0，進而得到的坐標．

解：（1）設橢圓的半焦距為，則，

又由的面積為，可得，解得，或，

離心率，則時，，舍去，

則，，所以橢圓的方程為；

（2）證明：設，，，，，

將直線代入橢圓可得，

由，可得，則有，，

為與無關的常數，

可得當，時，斜率的和恒為0，解得或（舍去），

綜上所述，在第一象限內滿足條件的定點的坐標為．