Question

自點A(-3，3)發出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x²+y²-4x-4y+7=0相切，求光線l所在直線的方程.

Answer 1

【探究】  (1)如圖所示，設l和x軸交于B(b,0)，則k_AB=,根據光的反射定律，反射線的斜率k_反=,

∴反射線所在的直線方程為

y= (x-b).

即  3x-(b+3)y-3b=0.

∵已知圓x²+y²-4x-4y+7=0的圓心為C(2，2)，半徑為1，

∴.解得b₁=,b₂=1.

∴k_AB=或k_AB=.

∴l的方程為4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.

(2)已知圓C:x²+y²-4x-4y+7=0關于x軸對稱的圓為C₁：(x-2)²+(y+2)²=1，其圓心C₁的坐標為(2，-2)，半徑為1，由光的反射定律知，入射光線所在直線方程與圓C₁相切.

設l的方程為y-3=k(x+3),則,

即  12k²+25k+12=0.∴k₁=,k₂=.

則l的方程為4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.

(3)設入射光線方程為y-3=k(x+3),反射光線所在直線方程為y=-kx+b，由于二者橫截距相等，且后者與已知圓相切，

∴

消去b得=1(以下與解析(2)同).

【規律總結】 本題是方程思想的典型應用，考查的重點在于設置怎樣的未知數，依怎樣的性質列方程，解析(1)、(2)屬常規方法，解析(3)設置兩個未知數，體現了方程的方法在具體運用時的靈活性.