Question

已知函數，函數.
（1）當時，求函數f(x)的最小值；
（2）設函數h(x)=(1－x)f(x)+16，試根據m的取值分析函數h(x)的圖象與函數g(x)的圖象交點的個數.

Answer 1

(1) x=4時，取等號，故函數f(x)的最小值為0.
（2）當或時，h(x)的圖象與g(x)的圖象恰有1個交點；
當時，h(x)的圖象與g(x)的圖象恰有2個交點；
當時，h(x)的圖象與g(x(的圖象恰有3個交點.

(1) 方法一： ∵ x>1 , ，
當且僅當x=4時，取等號，故函數f(x)的最小值為0；
方法二：∵ x>1，
當且僅當即x=4時，取等號，故函數f(x)的最小值為0.
方法三：求導（略） ……………………………………4分
（2）由于h(x)=(1－x)f(x)+16=
設 F(x)=g(x)－h(x)=   (且)，則
，……………………………6分
令得x=3或x=1（舍）又∵， ，，F（3）＝6ln3－15+m
根據導數的符號及函數的單調情況、取極值的情況作出的草圖如下：………………11分
由此可得：
當或時，h(x)的圖象與g(x)的圖象恰有1個交點；
當時，h(x)的圖象與g(x)的圖象恰有2個交點；
當時，h(x)的圖象與g(x(的圖象恰有3個交點.