Question

【題目】已知函數，.

（1）若是函數的極值點，求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數的單調區間；

（3）已知，當，試比較與的大小，并給予證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3），證明見解析.

【解析】

（1）根據極值點定義可構造方程求得，根據導數幾何意義可求得結果；

（2）分別在和兩種情況下，根據導函數的正負得到原函數的單調區間；

（3）令，可求得；令，利用導數和零點存在定理可確定，即的正負，從而得到的單調性和最值，通過最值可知，進而得到大小關系.

（1）由題意得：，

是的極值點，，解得：

，又，

所求切線方程為，即.

（2）由題意得：定義域為，，

當時，恒成立，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；

當時，令，解得：，

當時，；當時，；

的單調遞增區間為；單調遞減區間為；

綜上所述：當時，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（3）令，

則，

令，則，

函數在上單調遞增，

又，，存在唯一零點，使得

當時，；當時，；

當時，；當時，；

函數在上單調遞減，在上單調遞增，，

又，即，，，

在上恒成立.