Question

【題目】給定方程： ，則下列命題中：

①該方程沒有小于0的實數解；

②該方程有無數個實數解；

③該方程在(－∞，0)內有且只有一個實數解；

④若x0是該方程的實數解，則x0>－1.

正確的命題是________．

Answer 1

【答案】②③④

【解析】試題分析：根據正弦函數的符號和指數函數的性質，可得該方程存在小于0的實數解，故①不正確；根據指數函數的圖象與正弦函數的有界性，可得方程有無數個正數解，故②正確；根據y=（）x﹣1的單調性與正弦函數的有界性，

分析可得當x≤﹣1時方程沒有實數解，當﹣1＜x＜0時方程有唯一實數解，由此可得③④都正確．

解：對于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一個解，

則滿足（）α=1﹣sinα，當α為第三、四象限角時（）α＞1，

此時α＜0，因此該方程存在小于0的實數解，得①不正確；

對于②，原方程等價于（）x﹣1=﹣sinx，

當x≥0時，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函數y=﹣sinx的最小值為﹣1

且用無窮多個x滿足﹣sinx=﹣1，

因此函數y=（）x﹣1與y=﹣sinx的圖象在[0，+∞）上有無窮多個交點

因此方程（）x+sinx﹣1=0有無數個實數解，故②正確；

對于③，當x＜0時，

由于x≤﹣1時（）x﹣1≥1，函數y=（）x﹣1與y=﹣sinx的圖象不可能有交點

當﹣1＜x＜0時，存在唯一的x滿足（）x=1﹣sinx，

因此該方程在（﹣∞，0）內有且只有一個實數解，得③正確；

對于④，由上面的分析知，

當x≤﹣1時（）x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解

∴函數y=（）x﹣1與y=﹣sinx的圖象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交點

因此只要x0是該方程的實數解，則x0＞﹣1．

故答案為：②③④