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【題目】已知函數在定義域內有兩個不同的極值點．

（1）求實數的取值范圍；

（2）設兩個極值點分別為，，證明：.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）求出，令，則，分和兩種情況討論

（2）由（1）可知，，所以，要證：，即證，然后構造函數即可.

（1）由題意可知，的定義域為 且

令

則函數在定義域內有兩個不同的極值點等價于

在區間內至少有兩個不同的零點

由可知，

當時，恒成立，即函數在上單調，不符合題意，舍去.

當時，由得，，即函數在區間上單調遞增；

由得，，即函數在區間上單調遞減；

故要滿足題意，必有 解得：

（2）證明：由（1）可知，，所以

故要證：

即證：

即證：不妨設，即證

構造函數： ，其中

由，所以函數在區間內單調遞減，

所以，原式得證.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設數列{an}，對任意n∈N*都有（kn+b）（a1+an）+p＝2（a1+a2…+an），（其中k、b、p是常數）.

（1）當k＝0，b＝3，p＝﹣4時，求a1+a2+a3+…+an；

（2）當k＝1，b＝0，p＝0時，若a3＝3，a9＝15，求數列{an}的通項公式；

（3）若數列{an}中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“封閉數列”.當k＝1，b＝0，p＝0時，設Sn是數列{an}的前n項和，a2﹣a1＝2，試問：是否存在這樣的“封閉數列”{an}，使得對任意n∈N*，都有Sn≠0，且.若存在，求數列{an}的首項a1的所有取值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】平面直角坐標系中，過橢圓：右焦點的直線交于，兩點，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2），為上的兩點，若四邊形的對角線，求四邊形面積的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用（基準保費）統一為元，在下一年續保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發生道路交通事故的情況相聯系，發生交通事故的次數越多，費率也就越高，具體浮動情況如表：

交強險浮動因素和浮動費率比率表

浮動因素

浮動比率

上一個年度未發生有責任道路交通事故

下浮10%

上兩個年度未發生有責任道路交通事故

下浮20%

上三個及以上年度未發生有責任道路交通事故

下浮30%

上一個年度發生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故

0%

上一個年度發生兩次及兩次以上有責任道路交通事故

上浮10%

上一個年度發生有責任道路交通死亡事故

上浮30%

某機構為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了80輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續保時的情況，統計得到了下面的表格：

類型

數量

20

10

10

20

15

5

以這80輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：

（1）按照我國《機動車交通事故責任強制保險條例》汽車交強險價格的規定，.某同學家里有一輛該品牌車且車齡剛滿三年，記X為該品牌車在第四年續保時的費用，求X的分布列與數學期望值；（數學期望值保留到個位數字）

（2）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車.假設購進一輛事故車虧損4000元，一輛非事故車盈利8000元：

①若該銷售商購進三輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；

②若該銷售商一次購進100輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求他獲得利潤的期望值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某公司人數眾多為鼓勵員工利用網絡進行營銷，準備為員工辦理手機流量套餐.為了解員工手機流量使用情況，按照男員工和女員工的比例分層抽樣，得到名員工的月使用流量（單位：）的數據，其頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求的值，并估計這名員工月使用流量的平均值（同一組中的數據用中點值代表；

（2）若將月使用流量在以上（含）的員工稱為“手機營銷達人”，填寫下面的列聯表，能否有超過的把握認為“成為手機營銷達人與員工的性別有關”；

男員工

女員工

合計

手機營銷達人

5

非手機營銷達人

合計

200/span>

參考公式及數據：，其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

（3）若這名員工中有名男員工每月使用流量在，從每月使用流量在的員工中隨機抽取名進行問卷調查，記女員工的人數為，求的分布列和數學期望.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】現有邊長均為1的正方形正五邊形正六邊形及半徑為1的圓各一個，在水平桌面上無滑動滾動一周，它們的中心的運動軌跡長分別為，，，，則（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】現有邊長均為1的正方形正五邊形正六邊形及半徑為1的圓各一個，在水平桌面上無滑動滾動一周，它們的中心的運動軌跡長分別為，，，，則（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數的最小正周期為，將的圖象向左平移個單位后，所得圖象關于原點對稱，則函數的圖象（ ）

A.關于直線對稱B.關于直線對稱

C.關于點(，0)對稱D.關于點(，0)對稱

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】阿爾法狗(AlphaGo)是第一個擊敗人類職業圍棋選手、第一個戰勝圍棋世界冠軍的人工智能程序,由谷歌(Google)公司的團隊開發.其主要工作原理是“深度學習”.2017 年5 月,在中國烏鎮圍棋峰會上,它與排名世界第一的世界圍棋冠軍柯潔對戰,以3 比0 的總比分獲勝.圍棋界公認阿爾法圍棋的棋力已經超過人類職業圍棋頂尖水平.

為了激發廣大中學生對人工智能的興趣,某市教育局組織了一次全市中學生“人工智能”軟件設計競賽,從參加比賽的學生中隨機抽取了30 名學生,并把他們的比賽成績按五個等級進行了統計,得到如下數據表:

成績等級

成績(分)

5

4

3

2

1

人數（名）

4

6

10

7

3

(1)根據上面的統計數據,試估計從本市參加比賽的學生中任意抽取一人,其成績等級為“ 或”的

概率;

(2)根據(I)的結論,若從該地區參加比賽的學生(參賽人數很多)中任選3 人,記表示抽到成績等級為“或”的學生人數,求 的分布列及其數學期望；

(3)從這30 名學生中,隨機選取2 人,求“這兩個人的成績之差大于1分”的概率.

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