Question

【題目】已知兩點A（0，﹣1），B（0，1），直線PA，PB相交于點P，且它們的斜率之積是，記點P軌跡為C.

（1）求曲線C的軌跡方程；

（2）直線l與曲線C交于M，N兩點，若|AM|＝|AN|，求直線l的斜率k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設，由利用斜率公式，得到關系式，整理即可求出結論；

（2）斜率顯然成立，當設直線方程為與橢圓方程聯立，得到關于的一元二次方程，由，得出關于的不等量關系，運用根與系數關系求出坐標關系，進而求出中點坐標，，可得，求出關系，代入的不等量關系式，即可求出結論.

（1）設點P（x，y），則kPA，kPB，

則有，整理得，

即曲線C的軌跡方程為；

（2）當直線斜率不存在時，顯然不符，

故設直線方程為，代入，

整理得，

由已知條件可知，

即，①.

設，記的中點為，

則，

所以，， ②

由，得，所以， ③

將②代入③化簡得，即， ④

將④代入①得，即，

得且，經檢驗，當時，也成立，

故的取值范圍為.