【題目】
已知函數
.
（1）討論f(x)的單調性，并證明f(x)有且僅有兩個零點；
（2）設x0是f(x)的一個零點，證明曲線y=ln x 在點A(x0，ln x0)處的切線也是曲線
的切線.
【答案】（1）函數
在
和
上是單調增函數，證明見解析；
（2）證明見解析.
【解析】
（1）對函數求導，結合定義域，判斷函數的單調性；
（2）先求出曲線
在
處的切線
，然后求出當曲線
切線的斜率與斜率相等時，證明曲線切線
在縱軸上的截距與在縱軸的截距相等即可.
（1）函數的定義域為
，
，因為函數的定義域為，所以
，因此函數在和上是單調增函數；
當
，時，
，而
，顯然當，函數有零點，而函數在上單調遞增，故當時，函數有唯一的零點；
當
時，
，
因為
，所以函數在
必有一零點，而函數在上是單調遞增，故當時，函數有唯一的零點
綜上所述，函數的定義域內有2個零點；
（2）因為
是的一個零點，所以
，所以曲線在處的切線的斜率
，故曲線在處的切線的方程為：
而
，所以的方程為
，它在縱軸的截距為
.
設曲線的切點為
，過切點為切線，
，所以在處的切線的斜率為
，因此切線的方程為
，
當切線的斜率
等于直線的斜率時，即
，
切線在縱軸的截距為
，而，所以
，直線
的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直線重合，故曲線在處的切線也是曲線的切線.
名師點睛字詞句段篇系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國古代數學名著《數書九章》中有“天池盆測雨”題，大概意思如下：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為2尺8寸，盆底直徑為l尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中積水深9寸，則平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②1尺等于10寸）（ ）
A. 3寸B. 4寸C. 5寸D. 6寸
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】大城市往往人口密集，城市綠化在健康人民群眾肺方面發揮著非常重要的作用，歷史留給我們城市里的大山擁有品種繁多的綠色植物更是無價之寶.改革開放以來，有的地方領導片面追求政績，對森林資源野蠻開發受到嚴肅查處事件時有發生.2019年的春節后，廣西某市林業管理部門在“綠水青山就是金山銀山”理論的不斷指引下，積極從外地引進甲、乙兩種樹苗，并對甲、乙兩種樹苗各抽測了10株樹苗的高度(單位：厘米)，數據如下面的莖葉圖：
(1)據莖葉圖求甲、乙兩種樹苗的平均高度；
(2)據莖葉圖，運用統計學知識分析比較甲、乙兩種樹苗高度整齊情況.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對某校高一年級學生參加社區服務次數進行統計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區服務的次數．根據此數據作出了頻數與頻率的統計表和頻率分布直方圖如下：
分組 | 頻數 | 頻率 |
[10，15） | 10 | 0.25 |
[15，20） | 25 | n |
[20，25） | m | p |
[25，30） | 2 | 0.05 |
合計 | M | 1 |
（1）求出表中M，p及圖中a的值；
（2）若該校高一學生有360人，試估計該校高一學生參加社區服務的次數在區間[15，20）內的人數；
（3）在所取樣本中，從參加社區服務的次數不少于20次的學生中任選2人，請列舉出所有基本事件，并求至多1人參加社區服務次數在區間[20，25）內的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就，實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系．為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日
點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為M１，月球質量為M２，地月距離為R，點到月球的距離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：
.
設
，由于
的值很小，因此在近似計算中
，則r的近似值為
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區各投入
萬元廣告費用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員操作失誤，橫軸的數據丟失，但可以確定橫軸是從
開始計數的. [附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.]
（1）根據頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度;
（2）試估計該公司投入
萬元廣告費用之后，對應銷售收益的平均值(以各組的區間中點值代表該組的取值);
（3）該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數據,并整理得到下表:
廣告投入 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷售收益 | 2 | 3 | 2 | 7 |
由表中的數據顯示, 
與
之間存在著線性相關關系,請將（2）的結果填入空白欄,并求出
關于
的回歸直線方程.
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