Question

【題目】如圖，已知橢圓：的左、右焦點分別為、，左準線：和右準線：分別與軸相交于、兩點，且、恰好為線段的三等分點．

（1）求橢圓的離心率；

（2）過點作直線與橢圓相交于、兩點，且滿足，當△的面積最大時（為坐標原點），求橢圓的標準方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）根據、恰好為線段的三等分點，得，即，解得離心率（2）根據離心率可設橢圓方程為．利用OD為定值表示三角形面積，聯立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理表示面積，分離利用基本不等式求最值，確定，最后根據得，求出，解出

試題解析：（1）焦點，右準線：，由題知，

即，即，解得．

（2）由（1）知，得，，可設橢圓方程為．

設直線的方程為，代入橢圓的方程有，，

因為直線與橢圓相交，所以，

由韋達定理得，，又，所以，

得到，，，得到，

所以，

當且僅當時，等號成立，此時，代入滿足w，

所以所求橢圓方程為．