Question

【題目】已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．

（1）求的方程；

（2）若點在上，點在直線上，且，，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）因為，可得，，根據離心率公式，結合已知，即可求得答案；

（2）點在上，點在直線上，且，，過點作軸垂線，交點為，設與軸交點為，可得，可求得點坐標，求出直線的直線方程，根據點到直線距離公式和兩點距離公式，即可求得的面積.

（1）

，，

根據離心率，

解得或(舍)，

的方程為：，

即；

（2）不妨設,在x軸上方

點在上，點在直線上，且，，

過點作軸垂線，交點為，設與軸交點為

根據題意畫出圖形，如圖

，，，

又，，

，

根據三角形全等條件“”，

可得：，

，

，

，

設點為，

可得點縱坐標為，將其代入，

可得：，

解得：或，

點為或，

①當點為時，

故，

，

，

可得：點為，

畫出圖象，如圖

,，

可求得直線的直線方程為：，

根據點到直線距離公式可得到直線的距離為：，

根據兩點間距離公式可得：，

面積為：；

②當點為時，

故，

，

，

可得：點為，

畫出圖象，如圖

,，

可求得直線的直線方程為：，

根據點到直線距離公式可得到直線的距離為：，

根據兩點間距離公式可得：，

面積為：，

綜上所述，面積為：.