Question

【題目】如圖，四邊形和四邊形均是直角梯形， 二面角是直二面角， .

（1）證明：在平面上，一定存在過點的直線與直線平行；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）利用線面、面面平行的判定和性質定理即可證明；
（2）可證，則以為坐標原點， 所在的直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系．利用空間向量可求二面角的余弦值

試題解析：（1）證明：由已知得平面平面，

所以平面，同理可得平面，

又,所以平面平面,

設平面平面，則過點，

因為平面平面，平面平面，

平面平面，

所以，即在平面上一定存在過點的直線，使得.

（2）因為平面平面,平面平面,

又，所以，所以平面，

因為平面，所以，

因為,所以，

以為坐標原點， 所在的直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，

如圖，由已知得,

所以,

設平面的法向量為，則，

不妨設，則，

不妨取平面的一個法向量為，

所以，

由于二面角為銳角，因此二面角的余弦值為.