Question

【題目】設函數f(x)(m∈R).

（1）當m=1時，求函數的單調區間；

（2）若函數F(x)=f(x)+xm+2有兩個零點，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 遞增區間為(0，e)，遞減區間為(e，+∞) (2) (﹣∞，﹣2e).

【解析】

（1）時，求出，求出的解，即可得出結論；

（2）求出整理，有兩個零點，轉化為函數 有兩個零點，求，求出極值點，分析函數值的變化趨勢，只需g(x)的極小值g()<0方程有兩個零點，解不等式g()<0，即可求出結論.

(1)當m=1時，f(x)，x>0，∴f'(x)，

令f'(x)=0，得1﹣lnx=0，x=e，

隨的變化變化如下表：

x	(0，e)	e	(e，+∞)
f'(x)	+	0	﹣
f(x)	遞增	極大值	遞減

∴函數f(x)的單調遞增區間為(0，e)，單調遞減區間為(e，+∞)；

(2)F(x)xm+2，定義域為(0，+∞)，

∴F(x)xm+2，

設g(x)=4mlnx+4x2+m2+4mx+8x，

∵函數F(x)=f(x)+xm+2有兩個零點，

∴函數g(x)=4mlnx+4x2+m2+4mx+8x有兩個零點，

∵g'(x)，

令g'(x)=0得，x，

∵函數g(x)=4mlnx+4x2+m2+4mx+8x有兩個零點，

∴函數g(x)在(0，+∞)上不單調，∴0，∴m<0，

隨的變化變化如下表：

x	(0，)		(，+∞)
g'(x)	﹣	0	+
g(x)	遞減	極小值	遞增

∴函數g(x)的極小值為g()，

∵當x→0時，g(x)→+∞；當x→+∞時，g(x)→+∞，

∴若函數g(x)=4mlnx+4x2+m2+4mx+8x有兩個零點，

則函數g(x)的極小值g()<0，

即4mln()+4m2﹣4m4m<0，

∴mln()﹣m<0，又∵m<0，∴ln()>1，

∴e，∴m<﹣2e，

∴實數m的取值范圍為：(﹣∞，﹣2e).