Question

【題目】已知函數在區間上有最大值4，最小值1，設函數．

（1）求、的值及函數的解析式；

（2）若不等式在時恒成立，求實數的取值范圍；

（3）如果關于的方程有三個相異的實數根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）．

【解析】

（1）求出的對稱軸，根據題意，根據二次函數的單調性，得到方程組，解方程組即可求出、的值及函數的解析式；

（2）對不等式進行常變量分離，運用配方法，最后求出實數的取值范圍；

（3）令，方程變成為：，根據題意可知該方程兩根的分布情況，得到不等式組，最后解不等式組即可.

（1）因為在區間上有最大值4，最小值1，則函數的對稱軸為，

解得

所以，，，．

（2）不等式為，所以．

設，所以．因為，所以．

（3）原方程等價為，令，則

．（*）

記方程（*）兩根為、，當時，原方程有三個相異實根，記，由題意可知

或

所以．