Question

【題目】

已知橢圓的左、右焦點分別為，，點是橢圓的一個頂點，△是等腰直角三角形．

（1）求橢圓的方程；

（2）設點是橢圓上一動點，求線段的中點的軌跡方程；

（3）過點分別作直線，交橢圓于，兩點，設兩直線的斜率分別為，，

且，探究：直線是否過定點，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）直線過定點（）．

【解析】

試題（1）求橢圓方程一般利用待定系數法求解，由題意得△中，因此，從而（2）求軌跡問題，一般根據題意選擇對應方法，本題涉及相關點，采取轉移法，即設的中點坐標為,點，則，再代入，可得軌跡方程（3）研究直線過定點問題，一般先利用坐標表示直線方程，再利用方程恒成立問題求相應定點，解題關鍵為將直線方程表示為點斜式，即將y軸截距用斜率表示

試題解析：（1）由已知可得，所求橢圓方程為．

（2）設點，的中點坐標為, 則

由,得代入上式 得

（3）若直線的斜率存在，設方程為，依題意．

設，，由得．

則． 由已知，

所以，即．

所以，整理得．故直線的方程為，即（）．所以直線過定點（）．

若直線的斜率不存在，設方程為，設，，由已知，得．此時方程為，顯然過點（）．

綜上，直線過定點（）．