Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，P為AB邊上一動點，PD∥BC交AC于點D，現將△PDA沿PD翻折至△PDA1，E是A1C的中點．

（1）若P為AB的中點證明：DE∥平面PBA1．

（2）若平面PDA1⊥平面PDA，且DE⊥平面CBA1，求二面角P﹣A1D﹣C的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）通過線線平行去得到線面平行，這也是線面平行證明中十分重要的手段.

（2）利用空間向量求二面角的平面角的正弦值，向量法做題，一定要細心運算.

（1）證明：取的中點，連接，.

因為為的中點且,所以是△的中位線.所以PDBC，且PD＝.

又因為是的中點,且的中點為,所以是△的中位線,

所以EFBC，且EF＝,所以PD與EF平行且相等,

所以四邊形是平行四邊形,所以.

因為平面，平面，所以平面.

（2）解：因為平面，所以.又因為是的中點，

所以，即是的中點.由可得，是的中點.

在中,，，沿翻折至，且平面平面，

利用面面垂直的性質可得平面，以點為原點建立坐標系如圖所示，

則，，，，.

設平面的法向量為，

有，

容易得到平面的法向量，

設二面角的大小為，有

，所以

.