Question

【題目】已知函數

（1）若存在極值點1，求的值；

（2）若存在兩個不同的零點，求證：

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 見解析.

【解析】

試題（1）由存在極值點為1，得，可解得a.

(2)是典型的極值點偏移問題，先證明,再利用在上的單調性，即可得證.

試題解析：(1) ，因為存在極值點為1，所以，即，經檢驗符合題意，所以.

(2)

①當時，恒成立，所以在上為增函數，不符合題意；

②當時，由得，

當時，，所以為增函數，

當時，，所為減函數，

所以當時，取得極小值

又因為存在兩個不同零點，所以，即

整理得，

作關于直線的對稱曲線，

令

所以在上單調遞增，

不妨設，則，

即，

又因為且在上為減函數，

故，即，又，易知成立，

故.

點晴：本題主要考查導數在函數中的應用，具體涉及到函數的極值，函數的極值點偏移問題.第一問中存在極值點1，所以，解得;第二問處理極值點問題有兩個關鍵步驟：一是在構造函數證明其大于于0恒成立，二是利用在上為減函數 ，兩者結合即可證明結論成立.