【題目】
如圖所示，在正三棱柱
中，底面邊長為
，側棱長為
，
是棱
的中點.
（Ⅰ）求證:
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大�。�
（Ⅲ）求點
到平面的距離.
【答案】解：(Ⅰ) 連結
與
交于
，
則為的中點，
為
的中點，
為
的中位線，
//. 又
平面
，
平面//平面………………4分
（Ⅱ）(解法1)過作
于
，由正三棱柱的性質可知，
平面，連結
，在正
中，
在直角三角形
中，
由三垂線定理的逆定理可得
.則
為二面角
的平面角，
又得
，
，
∴
.故所求二面角的大小為
.………………8分
解法（2）（向量法）
建立如圖所示空間直角坐標系，則
．
設
是平面
的一個法向量，則可得
，所以
即
取
可得
又平面
的一個法向量
設
則
又知二面角是銳角,所以二面角的大小是
……………………………………………………………………8分
（Ⅲ）設求點
到平面的距離
；因
，所以
，故
，而
………………10分
由
……………12分
【解析】
(Ⅰ) 連結與交于，則為的中點，
為的中點，
為的中位線，
//．又平面，平面，
//平面……… ……4分
（Ⅱ）過作于，由正三棱柱的性質可知，
平面，連結
，在正
中，
在直角三角形
中，
由三垂線定理的逆定理可得.則為二面角
的平面角，又得，
，
∴
.故所求二面角的大小為.………………8分
解法（2）（向量法）
建立如圖所示空間直角坐標系，則
.
設是平面
的一個法向量，則可得
，所以
即取可得
又平面
的一個法向量設則
又知二面角是銳角,所以二面角的大小是
……………………………………… ……………8分
（Ⅲ）設點到平面的距離；因，所以，故，而………… ……10分
由……… …12分
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】學校為了對教師教學水平和教師管理水平進行評價，從該校學生中選出300人進行統計.其中對教師教學水平給出好評的學生人數為總數的
，對教師管理水平給出好評的學生人數為總數的
，其中對教師教學水平和教師管理水平都給出好評的有120人.
（1）填寫教師教學水平和教師管理水平評價的
列聯表：
對教師管理水平好評 | 對教師管理水平不滿意 | 合計 | |
對教師教學水平好評 | |||
對教師教學水平不滿意 | |||
合計 |
請問是否可以在犯錯誤概率不超過0.001的前提下，認為教師教學水平好評與教師管理水平好評有關？
（2）若將頻率視為概率，有4人參與了此次評價，設對教師教學水平和教師管理水平全好評的人數為隨機變量
.
①求對教師教學水平和教師管理水平全好評的人數的分布列（概率用組合數算式表示）；
②求的數學期望和方差.
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（
，其中
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對相關系數r來說，下列說法正確的是（ �。�.
A.
，
越接近0，相關程度越大；越接近1，相關程度越小
B.
，越接近1，相關程度越大；越大，相關程度越小
C.，越接近1，相關程度越大；越接近0，相關程度越小
D.，越接近1，相關程度越小；越大，相關程度越大
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知
、
，
、
分別為
的外心，重心，
.
（1）求點
的軌跡
的方程；
（2）是否存在過
的直線
交曲線于
，
兩點且滿足
，若存在求出的方程，若不存在請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】棋盤上標有第
、
、
、
、
站，棋子開始位于第站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到調到第
站或第站時，游戲結束.設棋子位于第
站的概率為
.
（1）當游戲開始時，若拋擲均勻硬幣
次后，求棋手所走步數之和
的分布列與數學期望；
（2）證明：
；
（3）求
、
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】顧客請一位工藝師把
、
兩件玉石原料各制成一件工藝品，工藝師帶一位徒弟完成這項任務，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工藝師進行精加工完成制作，兩件工藝品都完成后交付顧客，兩件原料每道工序所需時間（單位：工作日）如下：
則最短交貨期為_______個工作日．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年高考剛過，為了解考生對全國2卷數學試卷難度的評價，隨機抽取了某學校50名男考生與50名女考生，得到下面的列聯表：
非常困難 | 一般 | |
男考生 | 20 | 30 |
女考生 | 40 | 10 |
（1）分別估計該學校男考生、女考生覺得全國2卷數學試卷非常困難的概率；
（2）從該學校隨機抽取3名男考生，2名女考生，求恰有4名考生覺得全國2卷數學試卷非常困難的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某種大型醫療檢查機器生產商，對一次性購買2臺機器的客戶，推出兩種超過質保期后兩年內的延保維修優惠方案：方案一：交納延保金7000元，在延保的兩年內可免費維修2次，超過2次每次收取維修費2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的兩年內可免費維修4次，超過4次每次收取維修費1000元.某醫院準備一次性購買2臺這種機器。現需決策在購買機器時應購買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺這種機器超過質保期后延保兩年內維修的次數，得下表：
維修次數 | 0 | 1 | 2 | 3 |
臺數 | 5 | 10 | 20 | 15 |
以這50臺機器維修次數的頻率代替1臺機器維修次數發生的概率，記X表示這2臺機器超過質保期后延保的兩年內共需維修的次數。
（1）求X的分布列；
（2）以所需延保金及維修費用的期望值為決策依據，醫院選擇哪種延保方案更合算？
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