Question

【題目】已知三點O（0，0），A（﹣2，1），B（2，1），曲線C上任意一點M（x，y）滿足| + |= （ + ）+2．
（1）求曲線C的方程；
（2）動點Q（x0 ， y0）（﹣2＜x0＜2）在曲線C上，曲線C在點Q處的切線為直線l：是否存在定點P（0，t）（t＜0），使得l與PA，PB都相交，交點分別為D，E，且△QAB與△PDE的面積之比是常數？若存在，求t的值．若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 =（﹣2﹣x，1﹣y）， =（2﹣x，1﹣y）可得 + =（﹣2x，2﹣2y），

∴| + |= ， （ + ）+2=（x，y）（0，2）+2=2y+2．

由題意可得 =2y+2，化簡可得 x2=4y．

（2）解：假設存在點P（0，t）（t＜0），滿足條件，則直線PA的方程是y= ，直線PB的方程是y=

∵﹣2＜x0＜2，∴

①當﹣1＜t＜0時， ，存在x0∈（﹣2，2），使得

∴l∥PA，∴當﹣1＜t＜0時，不符合題意；

②當t≤﹣1時， ， ，

∴l與直線PA，PB一定相交，分別聯立方程組

， ，解得D，E的橫坐標分別是 ，

∴

∵|FP|=﹣

∴ =

∵

∴ = ×

∵x0∈（﹣2，2），△QAB與△PDE的面積之比是常數

∴ ，解得t=﹣1，

∴△QAB與△PDE的面積之比是2．

【解析】（1）用坐標表示 ， ，從而可得 + ，可求| + |，利用向量的數量積，結合M（x，y）滿足| + |= （ + ）+2，可得曲線C的方程；（2）假設存在點P（0，t）（t＜0），滿足條件，則直線PA的方程是y= ，直線PB的方程是y= 分類討論：①當﹣1＜t＜0時，l∥PA，不符合題意；②當t≤﹣1時， ， ，分別聯立方程組，解得D，E的橫坐標，進而可得△QAB與△PDE的面積之比，利用其為常數，即可求得結論．