Question

【題目】已知數列的前n項和為,（n∈N*）．

（1）證明數列是等比數列，求出數列的通項公式；

（2）設，求數列的前n項和；

（3）數列中是否存在三項，它們可以構成等差數列？若存在，求出一組符合條件的項；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；（2）；（3）不存在滿足條件的三項

【解析】

（1）由已知數列遞推式可得數列是等比數列，結合等比數列的通項公式求得數列的通項公式；

（2）把數列的通項公式代入，然后利用錯位相減法求數列的前項和；

（3）假設存在，且，使得成等差數列，然后推出矛盾可得假設不成立,從而可得不存在滿足條件的三項．

（1）證明：∵，∴，

則，∴，

即，

∴數列是公比為2的等比數列，

,，則，

∴；

（2）解：，

，

令，①

，②

①-②得，，

，

∴；

（3）解：設存在，且，使得成等差數列，

則，

即，

即，，

∵為偶數，為奇數，

∴不成立，故不存在滿足條件的三項．