Question

【題目】平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左右焦點分別為和，以點為圓心，以為半徑的圓與以點為圓心，以為半徑的圓相交，且交點在橢圓上．

（）求橢圓的方程．

（）設橢圓， 為橢圓上任意一點，過點的直線交橢圓于、兩點，射線交橢圓于點．

①求的值．

②（理科生做）求面積的最大值．

③（文科生做）當時， 面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①2, ②（理）（文）.

【解析】試題分析：（）利用橢圓的定義進行求解；（）①設點，利用點在橢圓上和三點共線進行求解；②先利用點到直線的距離公式求得，再聯立直線和橢圓的方程，得到關于的一元二次方程，利用根與系數的關系和弦長公式、三角形的面積公式進行求解；③先利用點到直線的距離公式求得，再聯立直線和橢圓的方程，得到關于的一元二次方程，利用根與系數的關系和弦長公式、三角形的面積公式進行求解.

試題解析：（）設兩圓的一個交點為，則， ，由在橢圓上可得，則， ，得，則，

故橢圓方程為．

（）①橢圓為方程為，

設，則有，

在射線上，設，

代入橢圓可得，

解得，即，

．

②（理）由①可得為中點， 在直線上，則到直線的距離與到直線的距離相等，

故，聯立，

可得，

則， ，

，

聯立，得，

，

，

當且僅當時等號成立，

故最大值為．

②（文）此時直線方程為，由①可得為的中點，而在直線上，則到直線的距離與到直線的距離相等，則，聯立，

可得，

則， ， ，

聯立，得，

，

．

故最大值為．