Question

【題目】如圖所示，半圓弧所在平面與平面垂直，且是上異于，的點，，，.

（1）求證：平面；

（2）若為的中點，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點為，連接，利用勾股定理，證得，在利用面面垂直的性質，證得平面，最后利用線面垂直的判定定理，即可證得平面；

（2）以為坐標原點，分別以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面和平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．

（1）取的中點為，連接，

因為，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，

又，，所以為正方形，不妨設，

則，，，

所以，即，

又平面平面，平面平面，所以平面，

又平面，所以，

因為是半圓弧上異于，的點，所以，又，

所以平面；

（2）取的中點為，連接，，則，所以，

當為的中點時，有，則，

因為平面平面，平面平面，所以平面，

以為坐標原點，分別以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

由（1）知，，，，，

，， ，

設是平面的一個法向量，則，即，

令，則，，，

設是平面的一個法向量，則，即，

令，則，，，

所以，

由圖可知所求二面角為鈍角，

所以二面角的余弦值為.